Теперь я знаю как её доказывать :<
берем частные приращения функции f(x,y):
∆xZ=f(x+∆x,y)-f(x,y)=Phi(y)
∆yZ=f(x,y+∆y)-f(x,y)=Psi(x)
∆xyZ=[f(x+∆x,y+∆y)-f(x,y+∆y)]-[f(x+∆x,y)-f(x,y)]=∆Phi
заметили что первое выражение в кв. скобках равняется Phi(y+∆y)? А второе равняется Phi(y)?
∆yxZ=[f(x+∆x,y+∆y)-f(x+∆x,y)]-[f(x,y+∆y)-f(x,y)]=∆Psi
а тут первое выраж. в кв. скобках равняется Psi(x+∆x), второе же это Psi(x)
следовательно
∆Phi=∆Psi применяем с этими функциями теорему Лагранжа:
∆Phi=Phi'(x+∆x,y+L1∆y)*∆y, где 0<L1<1
∆Psi=Psi'(x+L2∆x,y+∆y)∆x, где 0<L2<1
распишем производные Phi' и Psi':
Phi'(y)=[f'x(x+∆x,y+L1∆y)-f'x(x,y+L1∆y)]*∆x
Psi'(x)=[f'y(x+L2∆x,y+∆y)-f'y(x+L2∆x,y)]*∆y
f'x - вот здесь х находится в нижнем регистре, f'y то же самое
снова применяем теорему Лагранжа:
Phi'(y)=f''xy(x+L3∆x,y+L1∆y)*∆x∆y; 0<L3<1
Psi'(x)=f''yx(x+L2∆x,y+L4∆y)*∆y∆x, 0<L4<1
т.к. ∆Phi=∆Psi, то
f"xy(x+L3∆x,y+L1∆y)∆x∆y=f"yx(x+L2∆x,y+L4∆y)∆y∆x
наверное вы заметили что ∆x∆y и ∆y∆x успешно сокращаются
В итоге, при ∆x->0 и ∆y->0 получим, что d^2z/dxdy=d^2z/dydx смеш. произв. равны меж собой. чтд
|